В истории развития квантовой механики было много попыток опровергнуть какие-либо из ее положений. Парадоксы возникают, когда зарождается новая область знаний. Они полезны, потому что попытки их конструктивного и содержательного объяснения углубляют понимание предмета. Однако большая часть парадоксов может быть объяснена при детальном рассмотрении и строгом математическом описании.

Парадокс Зенона

Зенон был автором нескольких апорий - рассуждений, которые, на первый взгляд, кажутся логичными, но противоречат здравому смыслу. Наиболее известным парадоксом его авторства является «Ахиллес и черепаха»: Ахиллес пытается догнать черепаху, но ему это не удается, если черепаха начала движение раньше него. Зенон объясняет это следующим образом: изначально между Ахиллесом и черепахой есть расстояние, и к тому моменту, как Ахиллес достиг положения черепахи, она уже сместилась из этой точки. Когда он пришел в следующее положение черепахи, она еще дальше сместилась, и так до бесконечности.

В рамках заданных положений парадокс объясняется так: у бесконечной суммы может быть конечный результат суммирования. Например, если мы добавляем к единице одну вторую, одну четвертую, одну шестнадцатую и так далее, то результатом суммы является конечная величина. В случае с этой апорией Зенона именно так и происходит. Однако этот факт стал понятен только со времен Ньютона, когда было сформулировано исчисление бесконечно малых величин, и, благодаря ему, мы понимаем, что расстояние между Ахиллесом и черепахой не может оставаться отличным от нуля.

Другая известная апория звучит следующим образом: летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент, то покоится она всегда. Мысль Зенона заключается в том, что состояние стрелы должно характеризоваться только своим положением в пространстве.

Разрешение второго парадокса появилось тоже после формулировки ньютоновой механики - стало понятно, что движение тел описывается дифференциальными уравнениями второго порядка, а именно: второй закон Ньютона говорит о том, что масса, умноженная на ускорение, равна силе. Ускорение - это скорость изменения скорости, это вторая производная от меняющегося во времени положения частицы. Следовательно, состояние стрелы характеризуется не только ее положением, но и скоростью в данный момент времени. Скорость определяет то, куда стрела сместится в следующий момент времени.

Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена

Одной из наиболее мистических концепций квантовой механики является ее вероятностная интерпретация - с ней спорили многие ученые. В частности, Эйнштейн вместе с Подольским и Розеном описали эксперимент, который выявляет, с их точки зрения, логическое противоречие в этой интерпретации. Существует много разных формулировок парадокса Эйнштейна - Подольского - Розена, но суть их всех одна и та же. Я расскажу об одной из стандартных формулировок, которая, однако, принадлежит не самим Эйнштейну, Подольскому и Розену.

Представим систему из двух фотонов, общая поляризация которых равна нулю, при этом оба фотона по отдельности не имеют определенной поляризации. Законы квантовой механики гласят, что в этом случае замкнутая система двух фотонов характеризуется волновой функцией, но при этом состояние каждого из фотонов по отдельности характеризуется не волновой функцией, а матрицей плотности. Говорят, что система двух фотонов описывается чистым состоянием, а каждый из фотонов по отдельности - смешанным.

Итак, фотоны отдалились друг от друга: к примеру, один из них улетел в Лондон, а второй - во Владивосток. Представим, что в Лондоне кто-то произвел измерение поляризации первого фотона. Тогда, в соответствии с законами квантовой механики, состояние первого фотона изменилось - произошла редукция его состояния. Из смешанного состояния он перешел в чистое. Например, с какой-то вероятностью он мог оказаться поляризованным в вертикальной плоскости.

Парадокс заключается в том, что в тот же самый момент, когда первый фотон в Лондоне перешел в чистое состояние, второй фотон во Владивостоке также изменил свое состояние - перешел из смешанного в чистое состояние, ровно с противоположной поляризацией. Это противоречит здравому смыслу, так как означает, что можно на расстоянии воздействовать на состояние второго фотона, тем самым нарушая принцип причинности.

Это наблюдение звучит еще более парадоксально, если учесть, что если в какой-то инерциальной системе отсчета два события одновременны, то обязательно есть инерциальная система отсчета, в которой второе событие происходит раньше первого. То есть редукция состояния фотона во Владивостоке в новой системе отсчета произойдет даже раньше того, как состояние первого фотона в Лондоне будет измерено.

Очень важно подчеркнуть, что эта ситуация отличается от эксперимента с черным и белым шарами, с которым ее часто сравнивают из-за недопонимания. В случае с шарами происходило бы следующее: два шара черного и белого цвета закрыты в коробке, и если разделить коробку пополам так, что в каждой части оказывается по шару, и отвезти одну во Владивосток, а другую в Лондон, то, открыв одну из них, мы сразу понимаем, какой шар во второй. В данном случае не было воздействия на второй шар, так как он с момента разделения коробки пополам имел определенный цвет. Ситуация с фотонами, как должно быть ясно из рассказа, совершенно другая.

Для меня полное разрешение этого парадокса все еще остается загадкой, но следует подчеркнуть, что никакого нарушения причинности в обсуждаемой ситуации не происходит именно из-за вероятностной природы квантовой механики. Дело в том, что, измеряя состояние первого фотона, мы не можем заставить его иметь ту поляризацию, которую нам захочется. В результате нашего измерения в Лондоне фотон может оказаться поляризованным тем или иным образом с какой-то вероятностью, а того, как он окажется поляризованным, мы не можем знать заранее. Соответственно, второй фотон окажется противоположно поляризованным с той же вероятностью. Поэтому для человека, наблюдающего за вторым фотоном во Владивостоке, его переход в чистое состояние с определенной поляризацией не будет являться передачей какого-то сообщения из Лондона. Однако станет ясно, что состояние первого фотона было измерено и система разомкнулась.

Парадокс кота Шредингера

Шредингер также спорил с вероятностной интерпретацией квантовой механики и в спорах на этот счет придумал следующий мысленный эксперимент: есть коробка, в которую помещены кот и специальный прибор, содержащий небольшое количество радиоактивного вещества, так что в течение часа с какой-то вероятностью может произойти распад одного из атомов этого вещества. Если распад происходит, срабатывает триггер, который запускает ток, разбивающий колбу с ядом, и яд убивает кота. Если распада не происходит, кот остается жив.

Парадокс заключается в следующем: квантовая механика утверждает, что до того, как произошло измерение, вы не знаете, распался атом или нет. Соответственно, и атом, и кот пребывают в смешанном состоянии, как пара фотонов в парадоксе Эйнштейна - Подольского - Розена. Точнее, если законы квантовой механики распространить на кота, то кот вместе с прибором и атомом составляют замкнутую систему, которая находится в чистом состоянии. При этом каждая из подсистем этой замкнутой системы характеризуется смешанным состоянием. Но что такое смешанное состояние для кота, когда он не жив и не мертв?

Фактически парадокс Шредингера в случае существования смешанного состояния кота показывал бы отсутствие параметра, по которому происходит переход от маленькой квантовой системы (коей является атом) к большой классической (такой как кот). Тем не менее такой параметр есть. Любая система - и классическая, и квантовая - характеризуется действием, и у маленькой квантовой системы действие и его градиенты сравнимы с постоянной Планка. Для большой классической системы и действие, и его градиенты намного больше этой постоянной. Например, камень (или луна) летит по определенной траектории не потому, что мы его постоянно измеряем, а потому, что коллективное движение составляющих его частиц описывается действием, градиенты которого и в пространстве, и во времени огромны по сравнению с постоянной Планка.

Итак, обсуждаемый парадокс можно решить, если вспомнить, что такое измерение в квантовой механике. Измерение - это воздействие большой классической системы (прибора) на маленькую квантовую (частицу). В данном случае кот и прибор, вместе взятые (да и по отдельности), являются большой классической системой, и измерение состояния радиоактивного атома происходит не в момент раскрытия коробки с котом, а в момент взаимодействия этой системы с частицей, которая с какой-то вероятностью распадется или не распадается. Следовательно, кот умрет или выживет еще до того, как откроется коробка.

Если вы хотите узнать больше о теоретической физике, записывайтесь на курс Эмиля Ахмедова «Теоретическая физика: от квантовой механики до теории поля», который состоится 20, 22 и 24 июня в Академии ПостНауки.

Ни знание, ни мышление никогда не начинаются с полной истины - она их цель; мышление было бы ненужно, если бы были готовы истины.

Парадоксы Зенона (около 425 до н.э.) - одни из самых интересных задач в мире математики. На первый взгляд невероятно простые, они на самом деле затрагивают такие вопросы, как бесконечность, неделимость пространства и времени.

Прежде всего, хочется сказать, что Зенон Элейский - древнегреческий философ, представитель Элейской школы, ученик Парменида. И, как хороший ученик, Зенон сформулировал ряд апорий (парадоксов, неразрешимых положений) для доказательства учения Парменида о едином неподвижном бытии. Считается так же, что данные парадоксы были направлены против соперничавшей с элеатами школы, вероятнее всего, против пифагорейцев, которые полагали, что величина или протяженность составлена из неделимых частей. Аристотель приводит следующее пифагорейское определение точки: "Единица, имеющая положение" или "Единица, взятая в пространстве".

Наиболее известны апории о движении: Ахиллес и черепаха, Дихотомия, Стрела, Стадий. Впервые они с вариантами решения были упомянуты в работе Аристотеля.

Ахиллес и черепаха

В данном парадоксе Зенон утверждает, что Ахиллес никогда не сможет догнать идущую впереди него черепаху.

На первый взгляд, ответ очевиден. Ахиллес догонит черепаху. Но в решении таится загвоздка, над которой многие ученые спорят до сих пор и не могут сойтись во мнении.

Решить эту задачу можно с помощью геометрической прогрессии. Так, чтобы догнать черепаху, Ахиллесу с начала необходимо достичь места, откуда она начала свой путь. Для этого ему нужно пройти половину пути, затем половину половины пути и так далее. То есть каждый раз путь будет уменьшаться в 0,5 раза. Это и есть наша геометрическая прогрессия со знаменателем q=0,5. По знаменателю мы видим, что прогрессия бесконечно убывающая. Следовательно, путь Ахиллеса будет стремиться к нулю, но тогда он никогда не догонит черепахи!

Дихотомия

В данном парадоксе утверждается, что, прежде чем движущийся объект сможет преодолеть определенное расстояние, он должен пройти половину этого пути, затем половину оставшегося пути и так далее до бесконечности. Поскольку при повторных делениях данного расстояния пополам всякий отрезок остается конечным, а число таких отрезков бесконечно, данный путь невозможно пройти за конечное время. Более того, этот довод действителен для любого, сколь угодно малого расстояния, и для любой, сколь угодно большой скорости. Следовательно, невозможно какое бы то ни было движение. Бегун не в состоянии даже тронуться с места.

Стрела

В данной апории Зенон утверждает, что любая вещь либо находится в состоянии покоя, либо движется. Доказывал он это на примере стрелы. Зенон утверждал, что летящая стрела не движется, так как в определенный момент времени занимает пространство, равное себе, а такое пространство может занимать только недвижимый предмет.

На протяжении многих лет среди математиков и философов не утихали споры об апориях Зенона. Их до сих пор пытаются логически обосновать, доказать. Суть парадоксов Зенона заключается в том, что ни пространство, ни время нельзя рассматривать, как множество бесконечных чисел не взаимосвязанных друг с другом. Многие специалисты согласились со знаменитым анализом парадоксов Зенона, данным Бертраном Расселом. По мнению Рассела, парадоксы Зенона не были удовлетворительно решены вплоть до появления теории бесконечных множеств Георга Кантора.

Теория Кантора позволяет рассматривать бесконечные множества (будь то множества точек на прямой или мгновений времени) не как набор изолированных индивидуальных точек и событий, а как нечто целое. Решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств, в которой наши интуитивные представления об отдельных точках и индивидуальных событиях объединены в систему - последовательную теорию бесконечных множеств.

Понятие времени и проблема континуума Гайденко Пиама Павловна

Парадоксы континуума Зенона и решение их Аристотелем

Исторический анализ позволяет по-новому увидеть и глубже понять смысл современных дискуссий, посвященных проблеме континуума и различных его видов. В своей работе мы коснемся лишь наиболее важных, узловых моментов в истории понятия непрерывности, начиная с античности и кончая XVII–XVIII вв. Как уже упоминалось, впервые проблема континуума была поставлена Зеноном из Элеи, выявившим парадоксы, возникающие при попытке мыслить движение в понятиях. Кратко содержание этих парадоксов передает Аристотель: «Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, которые хотят их разрешить. Первое, о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца… Второе, так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше прийти в то место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество… Третье… заключается в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из отдельных „теперь“… Четвертое рассуждение относится к двум разным массам, движущимся с равной скоростью: одни - с конца ристалища, другие - от середины, в результате чего, по его мнению, получается, что половина времени равна его двойному количеству» (Аристотель. Физика. VI, 9).

Первая апория - «Дихотомия» - доказывает невозможность движения, поскольку движущееся тело, прежде чем преодолеть определенное расстояние, должно сначала пройти его половину, а для этого - половину этой половины и т. д. до бесконечности. В самом деле, если пространственный континуум рассматривать как актуально данное бесконечное множество элементов, то движение в таком континууме невозможно мыслить, ибо занять бесконечное количество последовательных положений в ограниченное время невозможно: строго говоря, движение здесь не может даже начаться.

В основе апории «Ахиллес» - то же самое затруднение: пока Ахиллес преодолевает расстояние, отделяющее его от черепахи, последняя пройдет еще один отрезок пути и т. д. до бесконечности. Чтобы догнать ее, самый быстроногий бегун должен последовательно занять бесконечное множество мест, которые занимала черепаха. В обеих апориях Зенон предполагает континуум делимым до бесконечности, но эту бесконечность считает актуально существующей, т. е. бытием в том смысле, о каком мы говорили выше. В третьей апории - «Стрела» - философ доказывает, что летящая стрела покоится. Зенон здесь исходит из понимания времени как суммы неделимых моментов «теперь», а пространства - как суммы неделимых точек. В каждый момент времени, рассуждает Зенон, стрела занимает место, равное своему объему, а значит, движение можно мыслить лишь как сумму «продвинутостей» - состояний покоя, ибо при действительном движении предмет должен занимать место большее, чем он сам. Атомистический континуум, как доказывает Зенон, не позволяет движению ни существовать, ни быть мыслимым.

Мы не будем рассматривать четвертую апорию - «Стадий», по своим предпосылкам сходную со «Стрелой». С помощью этих апорий Зенон пытается доказать, что, независимо от того, рассматривать ли континуум как делимый до бесконечности или же как состоящий из неделимых моментов, движение в равной мере окажется невозможным. Смысл парадоксов Зенона - в стремлении доказать, что множественный и изменчивый чувственный мир становления есть мир иллюзорный и не допускающий строго научного познания; об этом, как хочет доказать Зенон, неопровержимо свидетельствует то, что любая попытка постигнуть движение с помощью строгого рассуждения ведет к неразрешимым противоречиям…

Теория континуума Аристотеля служит фундаментом не только физики, но и математики, поскольку Аристотель предложил новое обоснование математики по сравнению с тем, какое давала пифагорейско-платоновская школа. Анализируя понятие непрерывности, как его обосновал Аристотель, можно видеть, как он понимает связь физики с математикой. Итак, что же такое непрерывность? Это есть, по Аристотелю, определенный тип связи элементов системы, отличающихся от других типов связи - последовательности и смежности. Последовательность, или следование по порядку, - условие смежности, а смежность - условие непрерывности. Важно уяснить различие между смежным и непрерывным: если предметы соприкасаются, но при этом сохраняют каждый свои края, так что соприкасающиеся границы не сливаются в одну общую, то мы имеем дело со смежностью; если же граница двух предметов (отрезков линии, «частей» времени и т. д.) оказывается общей, то тут речь идет о непрерывности. «Я говорю о непрерывном, - пишет Аристотель, - когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становится для обоих одной и той же и, как показывает название, не прерывается…» (Аристотель. Физика. V, 226b-227a).

Непрерывными, по Аристотелю, могут быть не только части пространства и времени, но и движения; более того, подлинно непрерывным он считает то, что непрерывно по движению (Аристотель. Физика. V, 4). Чтобы движение было непрерывным, должны быть выполнены три условия: единство (тождественность) вида движения, единство движущегося предмета и единство времени.

Непрерывное, по Аристотелю, - это то, что делится на части, всегда делимые. А это значит, что непрерывное не может быть составлено из неделимых. Таким образом, Аристотель снимает те трудности, которые возникают в физике при допущении, что пространство и время состоят из неделимых, и получает возможность мыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму «продвинутостей». Непрерывность составляет условие возможности движения и его мыслимости. Остаются, однако, две первых апории - «Дихотомия» и «Ахиллес», основанные на бесконечной делимости пространства и времени. Здесь для разрешения противоречия Аристотель действует иначе. Если любой отрезок пути в силу его непрерывности делим до бесконечности, то движение окажется невозможным только при забвении того, что и время, в течение которого тело проходит этот путь, тоже непрерывно, т. е. делимо до бесконечности. А если учесть, что непрерывности пути соответствует непрерывность времени, то парадокс снимается. «Поэтому ошибочно рассуждение Зенона, что невозможно пройти бесконечное, т. е. коснуться бесконечного множества отдельных частей в ограниченное время. Ведь длина и время, как и вообще все непрерывное, называются бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления, или в отношении границ. И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в ограниченное время, бесконечного согласно делению - возможно, так как само время в этом смысле бесконечно. Следовательно, приходится проходить бесконечность в бесконечное, а не в ограниченное время и касаться бесконечного множества частей бесконечным, а не ограниченным множеством» (Аристотель. Физика. VI, 2, 233a).

Аристотелево определение непрерывности по существу совпадает с аксиомой Евдокса, получившей название также аксиомы Архимеда и сформулированной Евклидом в четвертом определении У книги «Начал»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». Вот как Аристотель формулирует евдоксов принцип отношений, показывая, что его альтернативой будет парадокс «Дихотомия»: «Если, взявши от конечной величины определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т. е. не ту же самую величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до конца; если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно исчерпать любой определенной величиной» (Аристотель. Физика. III, 206b). Вероятно, теория отношений Евдокса была попыткой решить вопрос о возможности установления отношения также и несоизмеримых величин. Пока не была открыта несоизмеримость, отношения могли выражаться целыми числами, и для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять столько раз, сколько необходимо для того, чтобы она сравнялась с большей. Но отношения несоизмеримых величин невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут целыми числами. Чтобы все же иметь возможность устанавливать отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для двух величин a и b, где a > b, можно подобрать такое число n, чтобы меньшая величина, взятая n раз, превзошла большую, т. е. чтобы было справедливо неравенство nb > a, то величины a и b находятся между собой в некотором отношении. В противном же случае они не находятся ни в каком отношении, что действительно имеет место там, где приходится иметь дело с бесконечно малыми величинами, которые были известны грекам в виде, например, роговидных углов: последние не имеют отношения с прямолинейными углами, ибо роговидный угол всегда меньше любого прямолинейного угла. Как пишет И.Г. Башмакова, «роговидные углы по отношению к любому прямолинейному являются актуальными бесконечно малыми, или неархимедовыми величинами». Именно эти величины, согласно Евдоксу, Архимеду и Аристотелю, не находятся ни в каком отношении с конечными.

Аристотель, как известно, не принимает понятия актуальной бесконечности, и его позиция совпадает с принципами античной математики. Он пользуется только понятием потенциально бесконечного, т. е. бесконечного делимого, которое, «будучи проходимым по природе, не имеет конца прохождения, или предела» (Аристотель. Физика. III, 6, 206b).

Сказать, что бесконечное существует только как потенциальное, а не как актуальное - значит сказать, что оно становится, возникает, а не есть нечто законченное, завершенное, не есть бытие. Пример потенциально бесконечного - это беспредельно возрастающий числовой ряд, ряд натуральных чисел, который, сколько бы мы его ни увеличивали, остается конечной величиной. Потенциально бесконечное всегда имеет дело с конечностью и есть беспредельное движение по конечному. Принцип непрерывности, как его задал Аристотель, базируется на понятии потенциально бесконечного.

Бесконечное, таким образом, есть, по Аристотелю, возможное, а не действительное, материя, а не форма: не случайно же материю Аристотель понимает как возможность. Не допуская актуальной бесконечности, Аристотель определяет бесконечное как то, вне чего еще всегда что-то есть. А может ли существовать нечто такое, вне чего больше ничего нет? И если да, то как его назвать? «Там, где вне ничего нет, - говорит Аристотель, - это законченное и целое: это то, у которого ничто не отсутствует, например, целое представляет собой человек или ящик… Целое и законченное или совершенно одно и тоже, или сродственны по природе: законченным не может быть ничто, не имеющее конца, конец же граница» (Аристотель. Физика. III, 6, 207b). Бесконечное - это материя, т. е. в ее аристотелевском понимании нечто вполне неопределенное, не имеющее в себе своей связи и лишенное всякой структуры. Целое же - это материя оформленная, и «конец», «граница», структурирующая его и делающая чем-то актуально сущим, действительным - это форма. Именно потому, что началом актуально сущего является форма, а форма есть предел, начало цели (она же - «конец», граница), он отвергает возможность актуально бесконечного: такое понятие является, по Аристотелю, как, впрочем, и по Платону, самопротиворечивым.

Из книги Философия: Учебник для вузов автора Миронов Владимир Васильевич

3. Своеобразие античной диалектики. Апории Зенона Зенон выдвинул ряд парадоксальных положений, которые получили название апорий (апория в переводе с греческого означает «затруднение», «безвыходное положение»). С их помощью он хотел доказать, что бытие едино и неподвижно,

Из книги Классический и неклассический идеалы рациональности автора Мамардашвили Мераб Константинович

Из книги История философии. Древняя Греция и Древний Рим. Том I автора Коплстон Фредерик

Глава 6 Диалектика Зенона Зенон известен как автор остроумных головоломок, с помощью которых он пытался доказать невозможность движения, таких, как, например, задача об Ахилле и черепахе. Кое у кого может сложиться впечатление, что Зенона интересовали одни головоломки,

Из книги Введение в философию автора Фролов Иван

3. Проблема бесконечности и своеобразие античной диалектики. Апории Зенона Зенон выдвинул ряд парадоксальных положений, которые получили название апорий («апория» в переводе с греческого означает «затруднение», «безвыходное положение»). С их помощью он хотел доказать,

Из книги Сократ автора Кессиди Феохарий Харлампиевич

5. Критика Аристотелем этических парадоксов Сократа Аристотель, постоянно критиковавший парадоксы Сократа и все его этическое учение, считал, что если следовать сократовскому тезису, то окажется, что человек не властен над собой и потому не несет ответственности за свои

Из книги По законам логики автора Ивин Александр Архипович

АПОРИИ ЗЕНОНА Обратимся теперь к конкретным софизмам и тем проблемам, которые стоят за ними.Знаменитые рассуждения древнегреческого философа Зенона «Ахиллес и черепаха», «дихотомия» и др., называемые обычно «апориями» («затруднениями»), были направлены будто бы против

Из книги Искусство правильно мыслить автора Ивин Александр Архипович

ПАРАДОКСЫ «...Истина все же скорее возникает из ошибки, чем из спутанности...» Ф. Бэкон «Логические парадоксы озадачили с момента своего открытия и, вероятно, будут озадачивать нас всегда. Мы должны, я думаю, рассматривать их не столько как проблемы, ожидающие решения,

Из книги Для чего мы живем? [Взгляд с позиции субъективного реализма] автора Захаров Константин Валерьевич

ПАРАДОКСЫ И ХИТРЕЦЫ В Древней Греции пользовался большой популярностью рассказ о крокодиле и матери. Крокодил выхватил у женщины, стоявшей на берегу реки, ее ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову слезу, ответил: - Твое несчастье

Из книги Бернард Мандевиль автора Субботин Александр Леонидович

Парадоксы времени Предыдущая глава фактически была посвящена проблеме существования мира в пространстве, теперь же обратим внимание на его существование во времени. Что это вообще такое - время? Очевидный ответ: количественная характеристика потока происходящих

Из книги Понятие времени и проблема континуума автора Гайденко Пиама Павловна

Из книги Занимательная философия [Учебное пособие] автора Балашов Лев Евдокимович

Проблема континуума у Канта В философии проблему непрерывности попытался разрешить Кант, столкнувшись с затруднениями, которые эта проблема породила у Лейбница, с одной стороны, и у математиков, с другой. Рождение трансцендентального идеализма в немалой степени было

Из книги Антология реалистической феноменологии автора Коллектив авторов

Апории Зенона Элеаты - авторы первых логических задач и мысленных экспериментов. Они во многом предвосхитили платоновские упражнения в диалектике и аристотелевские упражнения в логике.Зенон из Элеи известен своими апориями (в переводе апория - затруднение, трудность)

Из книги Самая большая тайна разума. Что такое сознание, и как это работает автора Терехов Василий

Александр Койре. Замечания к парадоксам Зенона Посвящается памяти Адольфа Райнаха § 1. Введение Подобно дискуссиям обо всех истинно философских проблемах, спор об аргументах Зенона или, точнее говоря, о парадоксах Зенона, вероятно, не завершится никогда. Если бы мы

Из книги автора

§ 2. Аргументы Зенона Согласно изложению Брошара, на статью которого мы ссылаемся в отношении всего, что касается интерпретации, четыре аргумента Зенона представлены в форме дилеммы. Два из них (Ахиллес черепаха и дихотомия) направлены против восприятия непрерывности и

Из книги автора

§ 9. Смысл аргументов Зенона Анализ возражений Зенона против движения и основополагающих попыток опровержения его аргументов привел нас к примечательному результату, который мы предвидели в самом начале: возникающие трудности относятся не к движению как таковому, а

Из книги автора

Парадоксы – пища для ума Онтологически любой объект является конечной реализацией абстрактных систем (параструктур). Параструктуры являются реализациями фрагментов иерархий подобия. Но не существует единой вселенской иерархии, «всемирная пирамида» невозможна.

Если в каждый определенный момент времени летящая стрела находится в покое, когда она движется?

Парадокс движения

Зенон из Элеи, последователь и поклонник Парменида, обладал точным чувством логической формы и имел дар выбирать подходящий (и остроумный) пример для иллюстрации своих рассуждений; с таким сочетанием качеств мало что может сравниться в философии. Зенон принял обе части философской мысли Парменида: вывод, что множественность и изменение нереальны, и высокую оценку формальной логики как метода испытания теорий на верность путем проверки их на логическую последовательность. Желая доказать, что Парменид был прав, Зенон демонстрировал абсурдность противоположной точки зрения (мнения, что в мире реально существуют множественность и изменение). Его наивысшим достижением в этой области был набор из четырех загадок, которые он придумал, чтобы подтвердить нереальность движения примерами, которые показали бы, что ни здравый смысл, ни пифагорейская наука не могут дать определение движению, не столкнувшись с противоречием или невозможностью.

Современный лектор вполне мог бы начать рассказ о Зеноне в духе самого Зенона:

«Если я скажу: сегодня у меня есть доказательство, что вы не можете дойти оттуда, где сидите, до двери аудитории, потому что дойти невозможно, это, может быть, покажется вам такой нелепостью, что всем нормальным людям среди вас тут же захочется дойти до этой двери, пройти через нее и пойти дальше! Но как раз это я и собираюсь доказать… Я предложу вам четыре довода, которые все вместе покажут, до чего бестолков и неразумен ваш здравый смысл и почему нелепо пытаться дать определение движению…»

Деятельность Зенона не убедила тех, кто пришел после него, в том, что Парменид был прав, но заставила их оценить по достоинству точную формальную логику. Она укрепила формализм, показав, что такие далекие одна от другой области знания, как математика и контрактное право, используют одни и те же логические формы. Она заставила философов аккуратнее обдумывать определения бытия и небытия и их отношение к определению изменения. Зенон раз и навсегда показал математикам, что пифагорейская программа построения непрерывных количеств из конечных рядов дискретных единиц внутренне противоречива и потому ее осуществление невозможно. Греческие философы и ученые, жившие после Зенона, реагировали на него так же, как на Парменида: не приняли идею, что реальность – всеохватывающий и неподвижный единый абсолют, а вместо этого стали доказывать, что формальная логика может быть действенной и разум надежным в мире, где множественность и изменения возможны. Мы можем заметить его влияние у всех последующих греческих мыслителей.

Зенон придал своей критике движения форму головоломок потому, что хотел нанести удар по здравому смыслу и по профессиональным взглядам математиков одним и тем же оружием. Понятые как конкретные ситуации, его головоломки ставят вопросы, которые заставляют здравый смысл признать, что его собственные нечеткие идеи могут оказаться вообще неразумными. Понятые как иллюстрации к более абстрактным критическим замечаниям, те же головоломки показывают, что технические допущения о точках и моментах, на которых основывается их свойство ставить слушателя в тупик, приводят к явному логическому противоречию. Четыре случая были подобраны так, чтобы показать пифагорейцам, поклонникам математики, хорошо знакомым с методом косвенного доказательства, что их определения движения неудачны. Платон пишет, что Зенон «отбивал удары тех, кто смеялся над Парменидом, и делал это интересным образом». Итак, давайте посмотрим на эту контратаку.

Загадок о парадоксах движения четыре. Такое количество примеров Зенон выбрал потому, что ему нужно было опровергнуть четыре разных возможных определения движения. Но сначала перед нами четыре его загадки, которые продолжают восхищать детей, математиков и самых обычных слушателей с тех самых пор, как Зенон впервые рассказал их.

Первый парадокс известен как «Дихотомия», или «Деление на два». Предположим, вы стоите на стадионе на каком-то расстоянии от двери, которая ведет на улицу. Тогда вы никогда не сможете выйти с этого стадиона, потому что перед тем, как дойти до двери, вы должны дойти до середины пути. Но перед тем, как дойти до середины, вы должны пройти середину расстояния до нее. Поскольку движение от одной точки до другой занимает какой-то конечный промежуток времени, а серединных точек бесконечно много, вам понадобится бесконечно много времени для того, чтобы пройти их все и выйти со стадиона. Что не так в этом аргументе? Он вылядит неразумным. Но как все-таки получается, что вы выходите из этой двери?

Если же вас не убедило это деление на два, у Зенона есть вторая головоломка – загадка об Ахилле и черепахе. В ней вы должны снова представить себя на стадионе. Вы смотрите на соревнование по бегу между Ахиллом и черепахой. Поскольку черепаха движется гораздо медленнее, Ахилл позволяет ей стартовать впереди него. Но это ошибка: сделав это, Ахилл никогда не догонит черепаху, говорит Зенон. К тому времени, как Ахилл добежит до места, откуда стартовала черепаха, та переместится вперед в какую-то другую точку. К тому времени, когда Ахилл доберется до этой второй точки, черепаха переместится еще дальше вперед. Так что Ахилл никогда не сможет обогнать черепаху. Греческие слушатели Зенона, несомненно, в первый момент реагировали на это словами: «Но мы же знаем, что в настоящем беге Ахилл обогнал бы черепаху и победил», а потом, немного подумав, приходили ко второй мысли: «Да, конечно, он бы ее обогнал. Но как?» Поскольку нас нелегко убедить в том, что логичные рассуждения ведут к заключению, совершенно противоположному реальности, вызов Зенона побуждает к действию – обосновать, почему становится возможным обогнать черепаху. Мы возвращаемся к его рассказу и даже рисуем схему состязания так, как его описал Зенон, чтобы увидеть, где он сделал какое-то неверное допущение о расстоянии, скорости или движении. Эта схема вылядит так:

«Ахилл и черепаха» Зенона

А – место, откуда стартует Ахилл, Т – место, откуда стартует черепаха. К тому времени, как Ахилл добегает из А в А, черепаха перемещается в Т; пока Ахилл бежит из А в А, черепаха снова перемещается вперед из Т в Т; и так до бесконечности. Эта схема тоже как будто подтверждает, что черепаха выигрывает состязание.

Третий парадокс Зенона, парадокс о стреле, самый простой из четырех, но, как показала история, самый сильный из них стимулятор для мысли. «Если летящая стрела в каждый момент времени находится в покое и занимает пространство, равное ее длине, то когда она движется?» В самом деле, когда? Этот вопрос хорошо бы задавать математикам и физикам, когда они начинают говорить нам о «состояниях» или «моментах», которые представляют собой «вещи в нерастянутом отрезке времени». Как можно построить движение из таких статических моментальных кадров покоя? Этот вопрос будет интересен для них и для любого другого человека тоже.

Четвертая загадка Зенона заставляет нас еще раз вернуться на стадион. Ахилл и черепаха ушли – может быть, вопреки Зенону, они все-таки дошли до двери, – и вместо них перед нами три движущихся «тела» – повозки или колесницы, – выстроенные в определенном порядке. Одна стоит, вторая проезжает мимо нее. Сколько времени нужно второй, чтобы проехать расстояние, равное длине колесницы?

Это, разумеется, зависит от скорости движущейся колесницы. Но какую бы скорость мы себе ни представили, нас просят принять «время проезда расстояния, равного одной длине колесницы», за единицу времени. (Здесь нужно заметить, что для здравомыслящего грека, любителя гонок на колесницах, длина колесницы была естественной мерой и расстояния, на которое одна колесница обгоняет другую, и времени, на которое раньше она финиширует.) А теперь представим себе, что третья колесница движется с той же скоростью, что вторая, но в противоположном направлении. Когда эти две колесницы проезжают одна мимо другой, время, необходимое каждой из них, чтобы проехать расстояние, равное одной длине колесницы, равно лишь половине исходной единицы. Итак, заключает Зенон свой парадокс, пол-единицы времени равняются целой единице времени. Этот его аргумент, когда оказывается понят, сильно озадачивает любого человека, который всегда считал само собой разумеющимся, что движение и покой – абсолютные противоположности. Те ответы, которые приходят в этом случае на ум нам самим, пришли в наш здравый смысл из теории относительности. Мы понимаем, что движение, конечно, всегда происходит относительно какой-то системы координат, то есть одна и та же колесница имеет разные скорости в зависимости от способа, которым измеряется скорость. Для слушателей Зенона эта мысль вовсе не была привычной. Если бы Зенон сказал в своем выводе: «Поэтому одно и то же движущееся тело одновременно имеет разные скорости», слушатели посчитали бы это такой же нелепостью, как то, что он им предложил: что целый отрезок времени равен половине этого отрезка.

Парадокс Зенона «Стадион»

AAA находится в покое, BBB движется от знака поворота, а CCC движется к знаку поворота с той же скоростью. Если мы примем «время проезда расстояния, равного одной длине колесницы», за единицу времени и измерим его по движению B относительно A, то B проедет мимо C за половину этого времени. Это противоречит представлению о том, что исходная выбранная единица времени была неделимой. Этот аргумент можно применить, чтобы показать, что не может быть наименьшего неделимого отрезка времени.

Хотя современному читателю ясно, что Зенон действительно обнаружил важную истину, наш здравый смысл XX века настолько привык к тому, что скорость относительна, что эта четвертая задача для нас менее интересна, чем остальные три. Однако, если мы посмотрим на эти парадоксы как на критические выпады против «научных» идей о движении, которые излагали прифагорейцы, мы обнаружим, что в этом последнем из четырех парадоксов Зенон спрятал еще одну задачу.

В то время, когда жили Зенон и Парменид, пифагорейцы были в западном мире экспертами по естественным наукам и математике. Выполняют ли четыре парадокса Зенона свою функцию критики распространенных тогда более точных определений пространства, времени и движения?

Пифагорейцы, похоже, пришли к соглашению, что физический мир, включая пространство и время, складывается из отдельных «точек» и «моментов». Поэтому они определили бы движение примерно так, как мы определяем скорость, – как перемещение через определенное количество точек пространства за определенное количество моментов времени. В физике и геометрии пифагорейцы также единогласно признавали положение, что любой непрерывный объект, имеющий длину, – например, линия или ее часть – может быть разделен на две части. Но помимо этого согласованного общего мнения не было ни одного принятого всей их школой взгляда на то, каков размер моментов и точек: они могли не иметь вообще никакого размера или могли иметь соответственно конечную длину и конечную длительность. Не было согласованного единого мнения и на то, следует ли рассматривать линию, определяемую точками, как ряд точек, расположенных одна вплотную к другой, или считать, что точки на линии отмечают границы интервалов, а промежутки между точками заняты какой-то разновидностью пустоты или пространства.

Отсутствие согласия по поводу конкретных деталей означало, что Зенон должен был рассмотреть четыре возможных случая, чтобы показать, что ни одно точное описание не может быть свободно от противоречий. Похоже, он чувствовал, что Парменид уже доказал нелепость попыток заполнить промежутки между точками каким-то видом пустоты. Такая пустота была бы формой небытия, а поскольку ничто не может что-то делать и не может иметь какие-то свойства, было бы нелогичным считать, что оно разделяет точки или связывает их. Поэтому не вызывают возражений с точки зрения логики только те варианты, в которых сегменты пространства (и времени) вплотную прилегают один к другому.

Четыре возможных у пифагорейцев способа описать движение объединяются в две группы: либо (1) сегменты пространства и части времени не похожи друг на друга, либо (2) они похожи. Если (1) они не похожи, то либо (1a) каждый момент времени имеет определенную протяженность, а сегменты пространства ее не имеют, либо (1b) дело обстоит наоборот: точки имеют конечную длину, а моменты времени не имеют длительности. Если (2) время и пространство подобны одно другому, то либо (2a) элементы и того и другого не имеют никакой протяженности, либо (2b) элементы и того и другого имеют какую-то минимальную конечную длину [то есть либо T = 1, S = 1, либо T = 0, S = 0].

Именно эти четыре возможности и рассмотрены по порядку в четырех парадоксах движения. Зримо представить это в компактной форме вам может помочь таблица:

Для начала вернемся к задаче «Деление на два» и обратим внимание на то, что в этой головоломке предполагается, что пространство между вами и ведущей наружу дверью можно делить бесконечно. И для Зенона, и для Пифагора это означало, что пространственные точки не имеют длины. В то же время, когда Зенон сказал: «Чтобы пройти через каждую точку пространства, нужно какое-то время», он предполагал, что у моментов времени есть какая-то «длина» и поэтому, если сложить бесконечное количество моментов, в сумме получится бесконечное время. Это противоречие происходит оттого, что к пространству применяется пифагорейский постулат о том, что любое непрерывное количество можно разделить на две части, а к времени применяется другая пифагорейская теорема, что непрерывное количество представляет собой последовательность бесконечного числа отдельных точек. (С точки зрения арифметики раз пространственные точки не имеют длины и поэтому их длина равна нулю, то при их сложении не может получиться длина больше нуля. Но поскольку моменты времени имеют длительность, сумма любого количества этих моментов будет больше, чем нуль. Если теперь описать движение как отношение расстояния к времени s/t, получится 0/t, то есть неподвижность.)

В парадоксе об Ахилле делается противоположное допущение. Когда Зенон заявляет, что Ахилл никогда не сможет обогнать черепаху, он явно говорит о времени, которое можно делить на две части до бесконечности и которое, следовательно, состоит из не имеющих протяженности моментов; но он предполагает, что в каждый момент времени оказывается пройден какой-то конечный отрезок пути. В этом случае оказывается, что скорость любого движения равна бесконечности, потому что отношение расстояния к времени (s/t) равно s/0. Аристотель считал парадокс об Ахилле «детским», потому что «очевидно, что пространство делится на части таким же образом, как время». Но Аристотель не понял, что Зенон использовал парадокс об Ахилле для того, чтобы опровергнуть одно из логически возможных пифагорейских толкований. (Фактически эти два первых рассмотренных Зеноном случая никогда не принимались всерьез как научные гипотезы вплоть до XX века; но пифагореец мог бы рассматривать их, и потому Зенон включил их в свою атаку по всему фронту.)

В парадоксе о стреле допущения достаточно простые и очевидные: если ни моменты времени, ни сегменты пространства не имеют совершенно никакой протяженности, отношение расстояние к времени всегда будет 0/0, а это выражение не имеет смысла. Причина того, что задача о стреле создает такие фундаментальные трудности, состоит в том, что мы часто хотим разрезать пространство и время на отдельные фрагменты, как на куски. Целая длинная и интересная глава в истории математики заполнена попытками, используя различные стратегии, опять сложить из этих фрагментов непрерывное целое.

И наконец, в четвертой задаче с движением колесниц относительно друг друга предполагается, что точки пространства и моменты времени имеют определенную протяженность, но она минимальна, и поэтому они имеют длину, но неделимы. (Если бы они были делимыми, то многократным делением на два их можно было бы разделить до частей, каждая из которых была бы ничем, и перед нами опять был бы случай со стрелой.) Но допущение о неделимости сразу же оказывается неверным: мы видим, что факт относительности движения приводит к необходимости делить моменты или точки на более мелкие части, если мы не согласны с выводом самого Зенона: «Итак, два промежутка времени равны одному промежутку». То, что Зенон назвал движущиеся по стадиону предметы словом «онкос», означавшим что-то объемное, характерно для этого философа: обычные слушатели сразу понимали, что здесь имеются в виду повозки или колесницы, и представляли их себе; но слово «онкос» еще означало «физическое тело» у пифагорейцев, и более ученый слушатель мог представить себе просторный стадион и на нем крошечные пифагорейские точки – движущиеся онкой -тела.

Четырьмя парадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строго показывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве и времени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили более поздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителей проникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые возможности ее применения. Еще они, естественно, заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ от представления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью, у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории – лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической «делимости».